題目列表(包括答案和解析)
已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4,公差為4,其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列 {}的前n項(xiàng)和為( 。
| A. | | B. | | C. | | D. | |
考點(diǎn): | 數(shù)列的求和;等差數(shù)列的性質(zhì). |
專題: | 等差數(shù)列與等比數(shù)列. |
分析: | 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出Sn,再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出數(shù)列 { |
解答: | 解:∵Sn=4n+ ∴ ∴數(shù)列 { 故選A. |
點(diǎn)評(píng): | 熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”是解題的關(guān)鍵. |
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問(wèn),第二問(wèn)中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以
.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí),
,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即
,
則當(dāng)時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí),命題成立.
綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
已知函數(shù)=
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式
≥3的解集;
(Ⅱ) 若≤
的解集包含
,求
的取值范圍.
【命題意圖】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法,是簡(jiǎn)單題.
【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
=
,
當(dāng)≤2時(shí),由
≥3得
,解得
≤1;
當(dāng)2<<3時(shí),
≥3,無(wú)解;
當(dāng)≥3時(shí),由
≥3得
≥3,解得
≥8,
∴≥3的解集為{
|
≤1或
≥8};
(Ⅱ) ≤
,
當(dāng)∈[1,2]時(shí),
=
=2,
∴,有條件得
且
,即
,
故滿足條件的的取值范圍為[-3,0]
數(shù)列首項(xiàng)
,前
項(xiàng)和
滿足等式
(常數(shù)
,
……)
(1)求證:為等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的公比為
,作數(shù)列
使
(
……),求數(shù)列
的通項(xiàng)公式.
(3)設(shè),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
【解析】第一問(wèn)利用由得
兩式相減得
故時(shí),
從而又
即
,而
從而 故
第二問(wèn)中,
又
故
為等比數(shù)列,通項(xiàng)公式為
第三問(wèn)中,
兩邊同乘以
利用錯(cuò)位相減法得到和。
(1)由得
兩式相減得
故時(shí),
從而 ………………3分
又 即
,而
從而 故
對(duì)任意
,
為常數(shù),即
為等比數(shù)列………………5分
(2)
……………………7分
又故
為等比數(shù)列,通項(xiàng)公式為
………………9分
(3)
兩邊同乘以
………………11分
兩式相減得
已知數(shù)列是首項(xiàng)為
的等比數(shù)列,且滿足
.
(1) 求常數(shù)的值和數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2) 若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第
項(xiàng)、……,余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列
,試寫(xiě)出數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
.是否存在正整數(shù)
,使得
?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)中解:由得
,,
又因?yàn)榇嬖诔?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,
則即
,所以p=1
故數(shù)列為首項(xiàng)是2,公比為2的等比數(shù)列,即
.
此時(shí)也滿足,則所求常數(shù)
的值為1且
第二問(wèn)中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
(i)當(dāng)時(shí),
;
(ii) 當(dāng)時(shí),
,
所以
第三問(wèn)假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則,
則(i)當(dāng)時(shí),
,
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