題目列表(包括答案和解析)
數列
，滿足
（1）求
，并猜想通項公式
。
（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想。
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式求解，并用數學歸納法加以證明。第一問利用遞推關系式得到
，
，
，
，并猜想通項公式
第二問中，用數學歸納法證明（1）中的猜想。
①對n=1，等式成立。
②假設n=k
時，
成立，
那么當n=k+1時，
，所以當n=k+1時結論成立可證。
數列，滿足
（1），，，并猜想通項公。 …4分
（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。 …5分
②假設n=k時，成立，
那么當n=k+1時，
，
……9分
所以
所以當n=k+1時結論成立 ……11分
由①②知，猜想對一切自然數n均成立
設向量
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若函數
，求
的最小值、最大值.
【解析】第一問中，利用向量的坐標表示，表示出數量積公式可得
第二問中，因為，即
換元法
令
得到最值。
解：（I）
（II）由（I）得：
令
.
時，
已知
是等差數列，其前n項和為Sn，
是等比數列，且
，
.
（Ⅰ）求數列與的通項公式；
（Ⅱ）記
，
，證明
（）.
【解析】（1）設等差數列
的公差為d，等比數列
的公比為q.
由
，得
，
，
.
由條件，得方程組
，解得
所以
，
，
.
（2）證明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故
，
（方法二：數學歸納法）
① 當n=1時，
，
，故等式成立.
② 假設當n=k時等式成立，即
，則當n=k+1時，有：
即
，因此n=k+1時等式也成立
由①和②，可知對任意，成立.
如圖，
是△
的重心，
、
分別是邊
、
上的動點，且、、三點共線．
（1）設
，將
用
、
、
表示；
（2）設
，
，證明：
是定值；
（3）記△與△
的面積分別為
、
．求
的取值范圍．
（提示：
【解析】第一問中利用（1）
第二問中，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴
而
、
不共線，∴由①、②，得
第三問中，
由點、的定義知
，
，
且
時，
；
時，
．此時，均有
．
時，
．此時，均有
．
以下證明：
，結合作差法得到。
解：（1）
．
（2）一方面，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴． ②
而、不共線，∴由①、②，得
解之，得
，∴
（定值）．
（3）
．
由點、的定義知，，
且時，；時，．此時，均有．
時，．此時，均有．
以下證明：．（法一）由（2）知
，
∵
，∴
．
∵
，∴
．
∴的取值范圍
設橢圓
（常數
）的左右焦點分別為
，
是直線
上的兩個動點，
．
（1）若
，求
的值；
（2）求
的最小值．
【解析】第一問中解：設
，
則
由得
由，得
②
第二問易求橢圓
的標準方程為：
，
所以，當且僅當
或
時，取最小值
．
解：設， ……………………1分
則，由得 ①……2分
（1）由，得 ② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式，消去
，并求得
．
………………………3分
（2）解法一：易求橢圓的標準方程為：．………………2分
， ……4分
所以，當且僅當或時，取最小值．…2分
解法二：
，
………………4分
所以，當且僅當或時，取最小值
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