題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值;
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上?說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí),
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問(wèn)當(dāng)時(shí),
,令
得
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時(shí),
,令
得
當(dāng)變化時(shí),
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又,
,
。∴
在
上的最大值為2.
②當(dāng)時(shí),
.當(dāng)
時(shí),
,
最大值為0;
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增!
在
最大值為
。
綜上,當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在區(qū)間
上的最大值為2;
當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在區(qū)間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無(wú)解,因此
。此時(shí)
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調(diào)遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上
已知向量(
),向量
,
,
且.
(Ⅰ)求向量;
(Ⅱ)若
,
,求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算,以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用。
(1)問(wèn)中∵,∴
,…………………1分
∵,得到三角關(guān)系是
,結(jié)合
,解得。
(2)由,解得
,
,結(jié)合二倍角公式
,和
,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴
,…………1分
∵,∴
,即
① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得,
,
5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即
,
, …………7分
∴,
………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴
,即
,①……2分
又 ②
將①代入②中,可得 ③ …………………4分
將③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵,
,∴
,且
……7分
∴,從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知,
; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴
,
又
,∴
……11分
綜上可得 ………………………………12分
方法二∵,
,∴
,且
…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知,
.
…………9分
∴
……………10分
∵,且注意到
,
∴,又
,∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
(若用,又∵
∴
,
已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓
的離心率為
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線
與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)利用設(shè)橢圓的方程為
,由題意得
解得
第二問(wèn)若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因?yàn)橹本與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,設(shè)
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
所以
所以.解得。
解:⑴設(shè)橢圓的方程為
,由題意得
解得,故橢圓
的方程為
.……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因?yàn)橹本與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,設(shè)
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
所以
所以.
又,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">,即,
所以.
即.
所以,解得
.
因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn),所以k=1/2.
于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x
(10分)如圖,這是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,(1)請(qǐng)你說(shuō)明這個(gè)獎(jiǎng)杯是由哪些基本幾何體組成的;(2)求出這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積(列出計(jì)算式子,將數(shù)字代入即可,不必求出最終結(jié)果).
若下列方程:,
,
,至少有一個(gè)方程有實(shí)根,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
解:設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根,則有
解得,即
.
所以當(dāng)或
時(shí),三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根.
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com