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設Q、G分別為的外心和重心，已知，，。

（1）求點的軌跡。

（2）軌跡E與軸兩個交點分別為，（位于下方）。動點M、N均在軌跡E上，且滿足，試問直線和交點P是否恒在某條定直線上？若是，試求出的方程；若不是，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

設m∈R，在平面直角坐標系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y-1），a⊥b，動點M（x，y）的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（Ⅱ）已知m=

1

4

．證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標原點），并求該圓的方程；
（Ⅲ）已知m=

1

4

．設直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l與軌跡E只有一個公共點B₁．當R為何值時，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

如圖，已知是底面為正方形的長方體，

，，點是上的動點．

（1）試判斷不論點在上的任何位置，是否都有平面[來源:學,科,網]

垂直于平面？并證明你的結論；

（2）當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

 

（滿分14分）設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E．

   （1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀；

   （2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且（O為坐標原點）,并求出該圓的方程；

   （3）已知,設直線與圓C:（1<R<2）相切于A₁,且與軌跡E只有一個公共點B₁,當R為何值時,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

如圖，在長方體，中，，點在棱AB上移動.

（1 ）證明：；

（2）當為的中點時，求點到面的距離；  

（3）等于何值時，二面角的大小為.