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某廠在一個空間容積為2000m³的密封車間內(nèi)生產(chǎn)某種化學藥品．開始生產(chǎn)后，每滿60分鐘會一次性釋放出有害氣體am³，并迅速擴散到空氣中．每次釋放有害氣體后，車間內(nèi)的凈化設(shè)備隨即自動工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內(nèi)原有有害氣體含量的r％，然后停止工作，待下一次有害氣體釋放后再繼續(xù)工作．安全生產(chǎn)條例規(guī)定：只有當車間內(nèi)的有害氣體總量不超過1.25am³時才能正常進行生產(chǎn)．

(Ⅰ)當r＝20時，該車間能否連續(xù)正常生產(chǎn)6.5小時？請說明理由；

(Ⅱ)能否找到一個大于20的數(shù)據(jù)r，使該車間能連續(xù)正常生產(chǎn)6.5小時？請說明理由；

(Ⅲ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)

已知該凈化設(shè)備的工作方式是：在向外釋放出室內(nèi)混合氣體(空氣和有害氣體)的同時向室內(nèi)放入等體積的新鮮空氣．已知該凈化設(shè)備的換氣量是200m³／分，試證明該設(shè)備連續(xù)工作20分鐘能夠?qū)⒂泻�氣體含量降至原有有害氣體含量的20％以下．(提示：我們可以將凈化過程劃分成n次，且n趨向于無窮大．)

已知，函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)在點(1，)的切線方程；

(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個實數(shù)x₀，使>g(x_o)成立，求正實數(shù)的取值范圍。

【解析】本試題中導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。（1）中，那么當時，  又    所以函數(shù)在點(1，)的切線方程為；（2）中令   有 

對a分類討論，和得到極值。（3）中，設(shè)，，依題意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當時，  又    

∴  函數(shù)在點(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         當即時

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是

②         當即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設(shè)，

對求導，得

∵，    

∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實數(shù)的取值范圍是（，）

 

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結(jié)合導數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調(diào)遞增。∴在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上