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(Ⅰ)求, 第16題圖 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分。

定義:對函數(shù),對給定的正整數(shù),若在其定義域內(nèi)存在實數(shù),使得,則稱函數(shù)為“性質(zhì)函數(shù)”。

(1)判斷函數(shù)是否為“性質(zhì)函數(shù)”?說明理由;

(2)若函數(shù)為“2性質(zhì)函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;

(3)已知函數(shù)的圖像有公共點,求證:為“1性質(zhì)函數(shù)”。

 

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(本題16分)如圖,某大風(fēng)車的半徑為2米,每12秒沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,它的最底點離地面1米,風(fēng)車圓周上一點A從最底點開始,運動t秒后與地面距離為h米,

(1)求函數(shù)h=f(t)的關(guān)系式, 并在給出的方格紙上用五點作圖法作出h=f(t)在一個周期內(nèi)的圖象(要列表,描點);

(2) A從最底點開始, 沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)第一周內(nèi),有多長時間離地面的高度超過4米?

 

 

 

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(本題滿分16分,第1小題5分,第2小題6分,第3小題5分)

    已知函數(shù),其中為常數(shù),且

   (1)若是奇函數(shù),求的取值集合A;

   (2)(理)當(dāng)時,設(shè)的反函數(shù)為,且函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于對稱,求的取值集合B;

   (文)當(dāng)時,求的反函數(shù);

   (3)(理)對于問題(1)(2)中的A、B,當(dāng)時,不等式恒成立,求的取值范圍。

   (文)對于問題(1)中的A,當(dāng)時,不等式恒成立,求的取值范圍。

 

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(本題16分)如圖,某大風(fēng)車的半徑為2米,每12秒沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,它的最底點離地面1米,風(fēng)車圓周上一點A從最底點開始,運動t秒后與地面距離為h米,

(1)求函數(shù)h=f(t)的關(guān)系式, 并在給出的方格紙上用五點作圖法作出h=f(t)在一個周期內(nèi)的圖象(要列表,描點);

(2) A從最底點開始, 沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)第一周內(nèi),有多長時間離地面的高度超過4米?

 

          

 

 

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(本題滿分16分,第(1)小題6分,第(2)小題10分)

如圖,彎曲的河流是近似的拋物線,公路恰好是的準(zhǔn)線,上的點的距離最近,且為千米,城鎮(zhèn)位于點的北偏東處,千米,現(xiàn)要在河岸邊的某處修建一座碼頭,并修建兩條公路,一條連接城鎮(zhèn),一條垂直連接公路以便建立水陸交通網(wǎng).

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線的方程;

(2)為了降低修路成本,必須使修建的兩條公路總長最小,請給出修建方案(作出圖形,在圖中標(biāo)出此時碼頭的位置),并求公路總長的最小值(精確到0.001千米)

 

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一、選擇題(每題5分,共50分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

A

B

D

B

D

C

D

B

二、填空題(每題5分,共20分,兩空的前一空3分,后一空2分)

11.     12.4   13.   

14.      15.

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

16.(本題滿分12分)

如圖A、B是單位圓O上的點,且在第二象限. C是圓與軸正半軸的交點,A點的坐標(biāo)為,△AOB為正三角形.

(Ⅰ)求; 

(Ⅱ)求.

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          第16題圖

          (2)因為三角形AOB為正三角形,所以

          ,,       -----------------------------6分

          所以=

               -------------------------10分

          =.    --------------------------------------12分

          17、(本題滿分12分)

          如圖,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,

          (Ⅰ)求證:平面;

          (Ⅱ)求四棱錐的體積.

          (Ⅰ)因為四棱錐的底面是邊長為1的正方形,

          所以,所以              ------------4分

          ,

          所以平面                        --------------------------------------8分

          (Ⅱ)四棱錐的底面積為1,

          因為平面,所以四棱錐的高為1,

          所以四棱錐的體積為.                         --------------------12分

          18.(本小題滿分14分)

          分組

          頻數(shù)

          頻率

          50.5~60.5

          4

          0.08

          60.5~70.5

           

          0.16

          70.5~80.5

          10

           

          80.5~90.5

          16

          0.32

          90.5~100.5

           

           

          合計

          50

           

          為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識,增強(qiáng)環(huán)保意識,某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”,共有900名學(xué)生參加了這次競賽. 為了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計. 請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖,解答下列問題:

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          (Ⅰ)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi));

          (Ⅱ)補(bǔ)全頻數(shù)條形圖;

          (Ⅲ)若成績在75.5~85.5分的學(xué)生為二等獎,問獲得二等獎的學(xué)生約為多少人?

          解:(1)

          分組

          頻數(shù)

          頻率

          50.5~60.5

          4

          0.08

          60.5~70.5

          8

          0.16

          70.5~80.5

          10

          0.20

          80.5~90.5

          16

          0.32

          90.5~100.5

          12

          0.24

          合計

          50

          1.00

           

           

           

           

           

           

           

          ---------------------4分

          (2) 頻數(shù)直方圖如右上所示--------------------------------8分

          (3) 成績在75.5~80.5分的學(xué)生占70.5~80.5分的學(xué)生的,因為成績在70.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.2 ,所以成績在76.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.1 ,---------10分

          成績在80.5~85.5分的學(xué)生占80.5~90.5分的學(xué)生的,因為成績在80.5~90.5分的學(xué)生頻率為0.32 ,所以成績在80.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.16  -------------12分

          所以成績在76.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.26,

          由于有900名學(xué)生參加了這次競賽,

          所以該校獲得二等獎的學(xué)生約為0.26´900=234(人)       ------------------14分

          19.(本小題滿分14分)

          拋物線的準(zhǔn)線的方程為,該拋物線上的每個點到準(zhǔn)線的距離都與到定點N的距離相等,圓N是以N為圓心,同時與直線 相切的圓,

          (Ⅰ)求定點N的坐標(biāo);

          (Ⅱ)是否存在一條直線同時滿足下列條件:

          分別與直線交于A、B兩點,且AB中點為

          被圓N截得的弦長為2;

          解:(1)因為拋物線的準(zhǔn)線的方程為

          所以,根據(jù)拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點,             -----------2分

          所以定點N的坐標(biāo)為                              ----------------------------3分

          (2)假設(shè)存在直線滿足兩個條件,顯然斜率存在,                -----------4分

          設(shè)的方程為,                   ------------------------5分

          以N為圓心,同時與直線 相切的圓N的半徑為, ----6分

          方法1:因為被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1,   -------7分

          ,解得,                -------------------------------8分

          當(dāng)時,顯然不合AB中點為的條件,矛盾!            --------------9分

          當(dāng)時,的方程為               ----------------------------10分

          ,解得點A坐標(biāo)為,               ------------------11分

          ,解得點B坐標(biāo)為,          ------------------12分

          顯然AB中點不是,矛盾!                ----------------------------------13分

          所以不存在滿足條件的直線.                 ------------------------------------14分

          方法2:由,解得點A坐標(biāo)為,      ------7分

          ,解得點B坐標(biāo)為,        ------------8分

          因為AB中點為,所以,解得,     ---------10分

          所以的方程為,

          圓心N到直線的距離,                   -------------------------------11分

          因為被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1,矛盾!   ----13分

          所以不存在滿足條件的直線.               -------------------------------------14分

          方法3:假設(shè)A點的坐標(biāo)為

          因為AB中點為,所以B點的坐標(biāo)為,         -------------8分

          又點B 在直線上,所以,                ----------------------------9分

          所以A點的坐標(biāo)為,直線的斜率為4,

          所以的方程為,                    -----------------------------10分

          圓心N到直線的距離,                     -----------------------------11分

          因為被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1,矛盾! ---------13分

          所以不存在滿足條件的直線.              ----------------------------------------14分

          20.(本小題滿分14分)

          觀察下列三角形數(shù)表

                                   1            -----------第一行

                                 2    2         -----------第二行

                               3   4    3       -----------第三行

                             4   7    7   4     -----------第四行

                           5   11  14  11   5

          …    …      …      …

                    …    …    …     …      …

          假設(shè)第行的第二個數(shù)為,

          (Ⅰ)依次寫出第六行的所有個數(shù)字;

          (Ⅱ)歸納出的關(guān)系式并求出的通項公式;

          (Ⅲ)設(shè)求證:

          解:(1)第六行的所有6個數(shù)字分別是6,16,25,25,16,6; --------------2分

          (2)依題意,   -------------------------------5分

              ------------------------7分

          ,

          所以;    -------------------------------------9分

          (3)因為所以  -------------11分

          ---14分

          21.(本小題滿分14分)

          已知函數(shù)取得極小值.

          (Ⅰ)求a,b的值;

          (Ⅱ)設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件:(1)直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;(2)對任意xR都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”.

          試證明:直線是曲線的“上夾線”.

          解:(I)因為,所以                        ---------------1分

          ,                  -------------------------------2分

          解得,      --------------------------------------------------------------------3分

          此時,

          當(dāng),當(dāng),                   -------------------------5分

          所以取極小值,所以符合題目條件;                  ----------------6分

          (II)由,

          當(dāng)時,,此時,

          ,所以是直線與曲線的一個切點;                     -----------8分

          當(dāng)時,,此時,

          ,所以是直線與曲線的一個切點;                     -----------10分

          所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;

          對任意xR,,

          所以      ---------------------------------------------------------------------13分

          因此直線是曲線的“上夾線”.     ----------14分