已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求的最小值;
(2)若對于任意的,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
(1)的最小值為1;(2)實數(shù)
的取值范圍是
.
解析試題分析:(1)先對求導(dǎo),得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可求出函數(shù)的最小值為1;
(2)不等式恒成立,變形為
,構(gòu)造新函數(shù)
;求得
的最小值
,
從而實數(shù)的取值范圍是
.
試題解析:(1)的導(dǎo)函數(shù)
,令
,解得
;
令,解得
.
從而在
內(nèi)單調(diào)遞減,在
內(nèi)單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時,
取得最小值1. 6分
(2)因為不等式的解集為
,且
,
所以對于任意,不等式
恒成立.
由,得
.
當(dāng)時,上述不等式顯然成立,故只需考慮
的情況.
將變形為
.
令,則
的導(dǎo)函數(shù)
,
令,解得
;令
,解得
.
從而在
內(nèi)單調(diào)遞減,在
內(nèi)單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時,
取得最小值
,
從而實數(shù)的取值范圍是
. 13分
考點:導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用、函數(shù)與方程思想.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
.
(1)若,求函數(shù)
的極值點;
(2)若在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時,求函數(shù)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知在
處取得極值,且在點
處的切線斜率為
.
⑴求的單調(diào)增區(qū)間;
⑵若關(guān)于的方程
在區(qū)間
上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)
的取值范圍.
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設(shè)函數(shù),
,
,
(1)若曲線與
軸相切于異于原點的一點,且函數(shù)
的極小值為
,求
的值;
(2)若,且
,
①求證:; ②求證:
在
上存在極值點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求的最小值;
(2)當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè),試問函數(shù)
在
上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)當(dāng)a≤0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(a為實數(shù)).
(1) 當(dāng)a=5時,求函數(shù)在
處的切線方程;
(2) 求在區(qū)間
(
)上的最小值;
(3) 若存在兩不等實根,使方程
成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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