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7.設向量 的值是 ( )
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A. B.2 C.1+ D.4
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8.已知過球面上三點A,B,C的截面到球心的距離等于半徑的一半,且AB=BC=6,AB=4,則該球的表面積為 ( )
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9.(理)已知橢圓C的方程為 過C的右焦點下的直線與C相交于A、B兩點,向量 共線,則直線AB的方程是 ( )
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A. B.
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C. D.%20文理科數(shù)學.files/image060.gif)
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(文)在抽查產(chǎn)品的尺寸過程中,將其尺寸分成若干組, 是其中的一組,抽查出的個體在該組上的頻率為m,該組在頻率分布直方圖的高為h,則|a-b|等于 ( )
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A. B. C.h+m D.hm
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10.定義在R上的偶函數(shù) 的x的集合為 ( )
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A. B.%20文理科數(shù)學.files/image072.gif)
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C. D.%20文理科數(shù)學.files/image076.gif)
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11.已知等差數(shù)列 的前n項和為Sn,且S2=10,S5=55,則過點P(n,an)和Q(n+2,an+2)( )的直線的一個方向向量的坐標是 ( )
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12.(理)某學校高三學生的高服從平均身高為165cm的正態(tài)分布N(165,102),而初一學生的身高服從平均身高為150cm的正態(tài)分布M(150,102),并且高三學生身高不超過150cm的概率為a,身高超過170cm的概率為b,初一學生身高超過170cm的概率為c,現(xiàn)從高三年級和初一年級各抽取1人,則恰好高三學生的身高在170cm至180cm之間,初一學生的身高在150cm至170cm之間的概率為 ( )
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(文)已知橢圓C的方程為 過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點,向量 共線,則直線AB的方程是 ( )
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A. B.
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C. D.%20文理科數(shù)學.files/image060.gif)
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二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上) 13.已知橢圓E的離心率為e,兩焦點為F1、F2,拋物線C以F1為頂點,F(xiàn)2為焦點,P為兩曲線的一個交點,若 的值等于
.
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14.設正項等比數(shù)列an的首項 ,則an=
.
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15.(理)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=60°,把它沿BD折成一個60°的二面角,則四面體ABCD的體積為
. (文)正方體中ABCD―A1B1C1D1,E是C1D1的中點,那么異面直線DE和AC所成角的余弦值等于
.
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① ;
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② 平移后的坐標仍是(―3,4);
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③“向量 的方向相反”是“ 互為相反向量”的充分不必要條件
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④已知點M是△ABC的重心,則%20文理科數(shù)學.files/image106.gif) 其中正確命題的序號是
(把你認為正確命題的序號都填上)
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三、解答題(本大題共6小題,共74分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
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已知向量 其中O為坐標原點.
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(1)若 的夾角
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(2)若 對任意實數(shù) 都成立,求實數(shù) 的取值范圍。
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(理)某種儀表指示燈,只有“紅燈”“綠燈”,且隨機反復出現(xiàn),幾分鐘變化一次,每次變化只出現(xiàn)“紅燈”“綠燈”之一,其中出現(xiàn)“紅燈”的概率為p,出現(xiàn)“綠燈”的概率為q,若第k次出現(xiàn)“紅燈”,則記 “綠燈”,則記ak=-1。令Sn=a1+a2+…+an。
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(2)當 時,求S8=2且 的概率
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(文)一條筆直的公路上有3個路口設有紅綠燈標志。已知第一個路口出現(xiàn)紅燈或綠燈的概率都是 .從第二個路口起,若前一個路口出現(xiàn)紅燈,則下一個路口出現(xiàn)紅燈的概率是 ,出現(xiàn)綠燈的概率是 ;若前一個路口出現(xiàn)綠燈,則下一個路出口出現(xiàn)紅燈的概率是 ,出現(xiàn)綠燈的概率是 ,一輛車依次經(jīng)過這三個路口.求: (1)經(jīng)過第三個路口時,遇到綠燈的概率是多少? (2)經(jīng)過三個路口,出現(xiàn)一次紅燈,兩次綠燈的概率是多少?
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19.(本小題滿分12分) (理)已知實數(shù)a同時滿足下列兩個條件:
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①函數(shù) 的定義域為R;
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②對任意的實數(shù)x,不等式 恒成立. (1)求實數(shù)a的取值范圍;
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(2)在①有條件下,求關于x的不等式 的解集;
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(文)已知函數(shù) 在x=0生的切線與直線 平行。 (1)求實數(shù)a;
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(2)若對任意的 恒成立,求實數(shù)c的取值范圍。
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20.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P―ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,過BD作與PA平行的平面BDE,交側棱PC于點E,又作DF⊥PB,交PB于點F。
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%20文理科數(shù)學.files/image151.jpg)
(2)證明:PB⊥平面EFD; (3)求二面有C―PB―D的大小;
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設雙曲線 的左、右兩條準線與x軸分別交于點A,B,垂直于x軸的動直線與雙曲線右支交于相異的兩點M,n,直線AB與AM交于點P,求P點的軌跡方程。
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22.已知數(shù)列 的各項均為正數(shù),且滿足%20文理科數(shù)學.files/image156.gif)
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2.
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(1)求數(shù)列{ }的通項公式;
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(2)求數(shù)列{ }的前n項和Sn。
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一、選擇題 1―12 CBDBA ACCAD BA 二、填空題 13. 14. 15.(理) (文) 16.②④ 三、解答題 17.解(1)設向量 的夾角%20文理科數(shù)學.files/image172.gif) 則%20文理科數(shù)學.files/image174.gif) …………………………………………2分
當%20文理科數(shù)學.files/image178.gif) 向量 的夾角為 ;…………………………4分 當%20文理科數(shù)學.files/image183.gif) 向量 的夾角為 ;……………………6分 (2)| 對任意的 恒成立, 即 , 對任意的 恒成立。 即 恒成立……………………8分 所以 …………………………10分 解得:%20文理科數(shù)學.files/image197.gif) 故所求實數(shù) 的取值范圍是 ………………12分 18.(理)解:(1) 的取值為1,3。 又 …………………………1分 %20文理科數(shù)學.files/image205.gif)
…………………………3分
的分布列為
%20文理科數(shù)學.files/image124.gif)
1 3 P %20文理科數(shù)學.files/image212.gif)
%20文理科數(shù)學.files/image214.gif)
…………………………5分 ………………………………6分
(2)當S8=2時,即前8分鐘出現(xiàn)“紅燈”5次和“綠燈”3次,有已知 若第一、三分鐘出現(xiàn)“紅燈”,則其余六分鐘可出現(xiàn)“紅燈”3次………………8分 若第一、二分鐘出現(xiàn)“紅燈”,第三分鐘出現(xiàn)“綠燈”,則其后五分鐘可出現(xiàn)“紅燈”3次…………………………10分 故此時的概率為 ……………………12分 (文)解:(1)若第一個路口為紅燈,則第二個路口為綠燈的概率為 ;…………………………2分
若第一個路口為綠燈,則第二個路口為綠燈的概率為 …………4分 ∴經(jīng)過第二個路口時,遇到綠燈的概率是 …………6分 (2)若第一個路口為紅燈,其它兩個路口為綠燈的概率為 ;…………………………8分
若第二個路口為紅燈,其它兩個路口為綠燈的概率為: ………………………………10分
若第三個路口為紅燈,其它兩個路口為綠燈的概率為: …………………………11分
∴經(jīng)過三個路口,出現(xiàn)一次紅燈,兩次綠燈的概率是 ………………12分 19.(理)解:(1)求滿足條件①的a的取值范圍, 函數(shù) 的定義域為 取任意實數(shù)時, %20文理科數(shù)學.files/image240.gif)
即 …………………………2分 解得:a<1…………………………3分 求滿足條件②的a的取值范圍 設 ……………………4分 由 可得, %20文理科數(shù)學.files/image248.gif)
說明:當%20文理科數(shù)學.files/image250.gif) 又當%20文理科數(shù)學.files/image252.gif) ∴對任意的實數(shù)x,恒有 …………………………6分 要使得x取任意實數(shù)時,不等式 恒成立, 須且只須 …………………………7分 由①②可得,同時滿足條件(i)、(ii)的實數(shù)a的取值范圍為: …………………………8分
(2)%20文理科數(shù)學.files/image261.gif) %20文理科數(shù)學.files/image263.gif)
……………………10分
%20文理科數(shù)學.files/image267.gif)
即%20文理科數(shù)學.files/image269.gif) ∴不等式 的解集是: …………………………12分
(文)解:(1) …………4分 (2)解法一 ………………6分 因為 ,所以 ……………………00分 解得: ………………12分 解法二:當x=0時, 恒成立;………………5分 當x>0時,原式或化為 ,………………9分 因為 時取等號)………………11分
%20文理科數(shù)學.files/image290.jpg)
20.解法一:(1)連結AC,交BD于0, 則O為AC的中點,連結EO。 ∵PA//平面BDE,平面PAC 平面BDE=OE, ∴PA//OE…………………………2分 ∴點E是PC的中點。…………………………3分 (2)∵PD⊥底面ABCD,且DC 底面ABCD, ∴PD⊥DC,△PDC是等腰直角三角形,……………………4分 而DE是斜邊PC的中線, ∴DE⊥PC, ① 又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥BC!6分 ∵底面ABCD是正方形,CD⊥BC, ∴BC⊥平面PDC, 而DE 平面PDC, ∴BC⊥DE ② ……………………7分 由①和②推得DE⊥平面PBC,而PB 平面PBC ∴DE⊥PB,又DF⊥PB且DE DF=D, 所以PB⊥平面EFD,…………………………8分 (3)由(2)知,PB⊥EF,已知PB⊥DF,故∠EFD是二面角C―PB―D的平面角, ………………9分 由(2)知,DF⊥EF,PD⊥DB。 設正方形ABCD的邊長為a,則PD=DC=a,BD=%20文理科數(shù)學.files/image300.gif) ……………………10分
在Rt△EFD中, %20文理科數(shù)學.files/image304.gif)
%20文理科數(shù)學.files/image306.gif)
所以,二面角C―PB―D的大小為 ……………………12分 解法二:(1)同解法一……………………3分 (2)如圖所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點, 設DC=a,依題意得 P(0,0,a),B(a,a,0),C(0,a,0 ), E(0, ),A(a,0,0),D(0,0,0), ………………4分
%20文理科數(shù)學.files/image315.gif)
…………………………6分
由已知DF⊥PB,且DF DE=D, 所以PB⊥平面EFD!8分 (3)由(2)得 %20文理科數(shù)學.files/image320.gif)
設平面PBC的法向量為n=(x,y,z), m為平面PBD的法向量,由%20文理科數(shù)學.files/image322.gif) 及 得 %20文理科數(shù)學.files/image326.gif)
平面PBD
%20文理科數(shù)學.files/image330.gif)
%20文理科數(shù)學.files/image332.gif)
又因為二面角C―PB―D為銳角,所以其大小為 ……………………12分 21.解:設%20文理科數(shù)學.files/image334.gif) 因為兩準線與x軸的交點分別為 ……………………1分
由題意知%20文理科數(shù)學.files/image338.gif) ………………………………3分
則點N的坐標為N( ), 即N ………………………………4分 所以 ………………5分 則 ………………………………6分 當x≠0時, 代入, = 得: = ……………………8分 所以 , 即 …………………10分 當x=0時,點P的坐標為P(0, ), 點M的坐標滿足條件: =%20文理科數(shù)學.files/image362.gif) 點M的坐標滿足條件: =%20文理科數(shù)學.files/image366.gif) 顯然推出 與已知雙曲線中 ≠0矛盾。 所以P點的軌跡方程為 .(x≠0,y≠0) ……………………12分 22.解: (1)由 ………2分 所以 , 即所求數(shù)列{an}的通項公式為 ………………4分 (2)若n為奇數(shù),則 …………5分 = ……………………7分 =4-3 …………………9分 若n為偶數(shù),則 ………………10分 = …………………12分 =4-4 …………………14分
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