重慶七中高2009級高三下第一次月考題
理科數學
命題人：楊春樹
試題說明：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：
1、答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卷上填寫清楚。 2、每題答案必須填寫在答題卷相應的位置，答在試卷上的答案無效。
參考公式：
如果事件
互斥，那么
如果事件相互獨立，那么
如果事件
在一次試驗中發(fā)生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中恰好發(fā)生
次的概率
一、選擇題(本題共10小題，每小題只有一個選項，每題5分，共50分)
1、
的值為（ ）
2、已知
都是實數，則“
”是“
”的（ ）
A、 必要不充分條件 B、充分不必要條件
C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件
3、設
、
是不同的直線，
、
、
是不同的平面，有以下四個命題：
① 若
則
②若
，
，則
③ 若
，則 ④若
，則
其中真命題的序號是（ ）
A、①④ B、 ②③ C、②④ D、①③
4、某高校外語系有8名奧運會志愿者，其中有5名男生，3名女生，現(xiàn)從中選3人參加某項“好運北京”測試賽的翻譯工作，若要求這3人中既有男生，又有女生，則不同的選法共有（ ）種
5、若函數
的圖象按向量
平移后，它的一條對稱軸是
=
,則
的一個可能值是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、若圓
的圓心到直線
的距離為
,則
( )
A、
或
B、
C、或
D、或
7、已知變量
滿足約束條件
則
的取值范圍是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、兩位同學去某大學參加自主招生考試，根據右圖學校負責人與他們兩人的對話，可推斷出參加考試的人數為（ ）
9、已知平面
兩兩垂直，點
，點
到
的距離都是
，點
是上的動點，且點到的距離是到點距離的倍，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（ ）
10、函數
的值域是（ ）
二、填空題(本題共5小題，每題5分，共25分)
11、函數
的定義域是
；
12、已知
是公比為
的等比數列，且
成等差數列，則
__________；
13、三棱錐
的四個頂點點在同一球面上，若
底面
，底面是直角三角形，
，則此球的表面積為__________；
14、已知
，點
是圓
上的動點，點
是圓
上的動點，則
的最大值是________；
15、設
為整數，若
和
被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為
；已知
，
，則滿足條件的正整數中，最小的兩位數是
；
三、解答題(共6小題， 16-18題每題13分，19-21題12分，共75分)
16、已知函數
．
（Ⅰ）、求
的最大值，并求出此時的值；
（Ⅱ）、寫出的單調遞增區(qū)間；
17、重慶市在2009年初舉行了一次高中數學新課程骨干培訓，共邀請了15名使用
兩種不同版本教材的教師，數據如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
性別
男教師
女教師
男教師
女教師
人數
6
3
4
2
(Ⅰ)、從這15名教師中隨機選出2名，則2人恰好是教不同版本的男教師的概率是多少？
(Ⅱ)、培訓活動隨機選出2名代表發(fā)言，設發(fā)言代表中使用人教
版的女教師人數為
，求隨機變量的分布列和數學期望
；
18、如圖，正三棱柱
中，
是
的中點，
（Ⅰ）、求證：
∥平面
；
（Ⅱ）、求二面角
的大��；
19、已知
；
（Ⅰ）若
，求方程
的解；
（Ⅱ）若關于的方程在
上有兩個解
，求
的取值范圍；
20、已知
，點滿足
，記點的軌跡為
；
（Ⅰ）、求軌跡的方程；
（Ⅱ）、若直線
過點
且與軌跡交于
兩點；
①、設點
，問：是否存在實數，使得直線繞點無論怎樣轉動，都有
成立？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由；
②、過作直線
的垂線
，垂足分別為，記
，求
的取值范圍；
21、已知數列的前項和
滿足：
（為常數，且
）；
（Ⅰ）、求的通項公式；
（Ⅱ）、設
，若數列
為等比數列，求的值；
（Ⅲ）、在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設
，數列
的前項和為
；
求證：
；
1、A 2,、B 3、 D 4,、B 5、 D 6、C 7、A 8、B 9、A 10、D
11、(，1] 12、－或1 13、6p 14、2 15、11
16解：解：（Ⅰ）
當
，即
時，
取得最大值
.
（Ⅱ）當
，即
時，
所以函數的單調遞增區(qū)間是
17、解：(Ⅰ)從15名教師中隨機選出2名共
種選法， …………………………2分
所以這2人恰好是教不同版本的男教師的概率是
． …………………5分
(Ⅱ)由題意得
； 
；
．
故
的分布列為
0
1
2
所以，數學期望
．
18、解法一：（Ⅰ）證明：連接
∥
。 ……………………3分
∥平面
…………………………5分
（Ⅱ）解：在平面
―
―
……………………8分
設
。
在
所以，二面角
――
的大小為
。 ………………12分
19、（I）解：當
①當
， 方程化為
②當
， 方程化為1+2x
= 0， 解得
，
由①②得， 
（II）解：不妨設
，
因為
所以
是單調遞函數， 故
上至多一個解，
20、解：（Ⅰ）由
知，點的軌跡
是以
、
為焦點的雙曲線右支，由
，∴
，故軌跡E的方程為
…（3分）
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線l方程為
，與雙曲線方程聯(lián)立消
得
，設
、
，
|
……………………（7分）
，使得
，
對任意的
恒成立，
，解得
∴當
時，
及
知結論也成立，
，∴直線
是雙曲線的右準線， 
，
，
，∴
，∴
，綜上，
的傾斜角為
，由于直線
，過
，垂足為
，則
，
故：
∴
時，
，即
是等比數列． ∴
； 
，若
為等比數列，
而
，解得
， 
成立， 所以
，所以
， 由
得
， 
．
．