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1．集合的真子集的個(gè)數(shù)為                            （   ）

A．3             B．4              C．7               D．8

2．復(fù)數(shù)（）²（其中i為虛數(shù)單位）的虛部等于                          （   ）

A．－i           B．1              C．－1             D．0

3．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則實(shí)數(shù)的值為    (   )

A．2            B．1              C．0               D．3

4. 已知展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于                                                     (   )

A.  135               B.  270                     C.  540               D.  1215

5．下面四個(gè)命題：

　�、佟爸本�a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；

②“直線⊥平面內(nèi)所有直線”的充要條件是“⊥平面”；

③“直線a、b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a、b不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”；

其中正確命題的序號(hào)是                                                 (   )

    A．①②          B．②③            C．③④           D．②④

6．已知，則   （   ）

       A．2         B．            C．1                          D．0

7．已知O，A，B，C是不共線的四點(diǎn)，若存在一組正實(shí)數(shù)，，，使＋＋= ，則三個(gè)角∠AOB，∠BOC，∠COA                          （   ）

A．都是銳角     B．至多有兩個(gè)鈍角  C．恰有兩個(gè)鈍角    D．至少有兩個(gè)鈍角。

8．由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，所得的數(shù)是大于20000的偶數(shù)的概率為                                                                 （   ）

A．          B．             C．             D．

9．雙曲線 －＝1的左右焦點(diǎn)分別為F₁ ?F₂，在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足?PF₁?＝5?PF₂?。則此雙曲線的離心率e的最大值為                              （   ）

A．            B．             C．             D．2

10．f (x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù) ，且滿足 ，對(duì)任意的正數(shù)

a ?b ，若a ＜ b，則必有                                             （   ）

A．a(chǎn) f (a)≤b f (b)   B．a(chǎn) f (a)≥b f (b)    C．a(chǎn) f (b)≤b f (a)    D．a(chǎn) f (b)≥b f (a)

11．已知在平面直角坐標(biāo)系中，O (0,0), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 動(dòng)點(diǎn)P (x,y)滿足：

0≤≤1,0≤≤1,則的最大值為＿＿＿＿＿．

12．已知函數(shù)y=f(x),x∈[－1，1]的圖象是由以原點(diǎn)為圓心的兩段圓弧及原點(diǎn)構(gòu)成（如圖所示）, 則不等式的的解集為       

13．已知＝1，則＝＿＿＿＿＿．

14．若兩條異面直線所成的角為60⁰，則稱這對(duì)異面直線為“理想異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“理想異面直線對(duì)”的對(duì)數(shù)為＿＿＿＿＿．

15．已知拋物線的方程為，直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，且以弦AB

為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為                  ；當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，圓的半徑為              ．

16．（本小題滿分12分）

已知向量a＝(cos, sin), b＝(cos,－ sin), 且x∈[0, ].

(1) 求a?b及?a＋b?；

(2)若f (x)= a?b－2?a＋b?的最小值為－7, 求實(shí)數(shù)的值.

17．（本小題滿分12分）

某公司科研部研發(fā)了甲?乙兩種產(chǎn)品的新一代產(chǎn)品，在投產(chǎn)上市前，每種新一代產(chǎn)品都要經(jīng)過(guò)第一和第二兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)檢測(cè)，兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，每項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果都均有A ，B兩個(gè)等級(jí)，對(duì)每種新一代產(chǎn)品，當(dāng)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果均為A級(jí)時(shí)，才允許投產(chǎn)上市，否則不能投產(chǎn)上市。

(1)已知甲?乙兩種新一代產(chǎn)品的每一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果為A級(jí)的概率如下表所示，分別求出甲?乙兩種新一代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市的概率P_甲?P_乙；

第一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)

第二項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)

甲

0.8

0.85

乙

0.75

0.8

(2)若甲?乙兩種新一代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市，可分別給公司創(chuàng)造100萬(wàn)元?150萬(wàn)元的利潤(rùn)；否則將分別給公司造成10萬(wàn)元?20萬(wàn)元的損失，在1）的條件下，用?分別表示甲?乙兩種新一代產(chǎn)品的研發(fā)給公司創(chuàng)造的利潤(rùn)，求?的分布列及E?E.

18．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D為棱BB₁上一點(diǎn)，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C.

1）求證：D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)；

2）若二面角A －A₁D － C的平面角為60⁰，求的值。

19．（本小題滿分13分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為S_n，q為非零常數(shù)。已知對(duì)任意正整數(shù)n, m，當(dāng)n ＞ m時(shí)，總成立。

1）求證數(shù)列｛｝是等比數(shù)列；

2）若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，求證： ＋≥。

20．（本小題滿分13分）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。

1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率K_ON ；

2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（∈R）使等式：

＝cos＋sin成立。

21．（本小題滿分13分）

我們知道：函數(shù)y＝f (x)如果存在反函數(shù)y＝f ^-1 (x)，則y＝f (x)的圖像與y＝f ^-1 (x)圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱。若y＝f (x)的圖像與y＝f ^-1 (x)的圖像有公共點(diǎn)，其公共點(diǎn)卻不一定都在直線y＝x上；例如函數(shù)f (x)＝。

（1）若函數(shù)y＝f (x)在其定義域上是增函數(shù)，且y＝f (x)的圖像與其反函數(shù)y＝f ^-1 (x)的圖像有公共點(diǎn)，證明這些公共點(diǎn)都在直線y＝x上；

（2）對(duì)問題：“函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax的圖像有多少個(gè)公共點(diǎn)？”有如下觀點(diǎn)：

觀點(diǎn)①：“當(dāng)a＞1時(shí)兩函數(shù)圖像沒有公共點(diǎn)，只有當(dāng)0＜a＜1時(shí)兩函數(shù)圖像才有公共點(diǎn)”。

觀點(diǎn)②：“利用（1）中的結(jié)論，可先討論函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為此可構(gòu)造函數(shù)F (x)＝a ^x－x(a＞1)，然后可利用F (x)的最小值進(jìn)行討論”。

請(qǐng)參考上述觀點(diǎn)，討論函數(shù)f (x)＝a^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

數(shù)學(xué)試卷（理科）參考解答    

題序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

A

C

D

B

D

B

B

C

11.  4.    12.  [－1,－ )∪(0, )..      13.  。       14.  24.  

  15. （3分）、（2分）。

16.解：（1）∵ a = (cos, sin), b = (cos,－ sin)

          ∴ a?b ＝cos cos＋sin（－ sin）＝cos cos－sin sin

＝cos（＋）＝cos2x                             ………3分

又易知：?a?＝1,?b?＝1     ∴?a＋b?² ＝ a ²＋b ²＋2 a?b

 ＝1＋1＋2 cos2x＝4cos²x ，且x∈[0, ],

∴?a＋b?＝2cosx.                                         ………6分

（2)  f (x)＝ a?b－2?a＋b?

＝cos2x－2(2cosx)

＝2cos²x－4cosx － 1

＝2(cosx－)²－2²－1                               ………8分

若＜0，當(dāng)cosx＝0時(shí)，f (x)取得最小值－1，不合題意；

若＞1，當(dāng)cosx＝1時(shí)，f (x)取得最小值1－4，由題意有1－4＝－7，得＝2；

若0≤≤1，當(dāng)cosx＝時(shí)，f (x)取得最小值－2²－1，由題意有－2²－1＝－7，得＝±(舍去)。

綜上所述：＝2。                                                ………12分

17．解：    1）由題意有：   P_甲 ＝ 0.8×0.85＝ 0.68 ；                 ………3分

P_乙 ＝ 0.75×0.8＝ 0.6 。                  ………6分

2）隨機(jī)變量?的分布列分別是：

100

－10

P

0.68

0.32

150

－20

P

0.6

0.4

………9分

E ＝ 100×0.68＋（－10）×0.32 ＝ 64.8 ；

E ＝ 150×0.6＋（－20）×0.4 ＝ 82 。                  ………12分

18．解：    1）過(guò)點(diǎn)D作DE ⊥ A₁ C 于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF ?EF。

∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C內(nèi)的直線DE ⊥ A₁ C

∴直線DE⊥面AA₁C₁C                                              ………3分

又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA₁C₁C

由此知：DE∥BF ，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，

又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，從而有EF∥AA₁，

又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，所以DB ＝ EF ＝  AA₁ ＝  BB₁，

所以D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)；                                         ………6分

2）解法1：延長(zhǎng)A₁ D與直線AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，

過(guò)B作BH⊥A₁ G于點(diǎn)H，連CH，由三垂線定理知：A₁ G⊥CH，

由此知∠CHB為二面角A －A₁D － C的平面角；                     ………9分

設(shè)AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝；

在直角三角形A₁A G中，易知 AB ＝ BG。

在直角三角形DB G中，BH ＝  ＝ ，

在直角三角形CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，

據(jù)題意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，解得：，

所以 ＝ 。                                               ………12分

2）解法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，

則D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)

        所以，                            ………8分

設(shè)面DA₁C的法向量為

則 

可取

又可取平面AA₁DB的法向量

cos〈〉         ………10分

        據(jù)題意有：，解得： ＝           ………12分

說(shuō)明：考生的其他不同解法，請(qǐng)參照給分。

19．解：  1）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n, m，當(dāng)n ＞ m時(shí)，總成立。

所以當(dāng)≥2時(shí)：，即，且也適合，又＞0，

故當(dāng)≥2時(shí)：（非零常數(shù)），即｛｝是等比數(shù)列。           ………5分

2）若，則。所以

≥。          ………7分

若，則，，。     ………8分

所以≥。                   ………10分

又因?yàn)?sub>

≤。所以

≥≥。

綜上可知：若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，不等式 ＋≥總成立。

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”。                                     ………13分

20．解：  1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?sub>，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：      ①                     ………2分

易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），

據(jù)題意有AB所在的直線方程為：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由③及韋達(dá)定理有：

所以，即為所求。                                    ………5分

2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：

，所以

。                                   ………7分

又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A?B在橢圓上，故有                ⑥

將⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn)，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式成立，而

在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。

也就是：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。                                                 ………13分

21．解； 1）設(shè)點(diǎn)M（x₀, y₀）是函數(shù)y ＝ f (x)的圖像與其反函數(shù)y ＝ f ^-1 (x)的圖像的公

點(diǎn)，則有：y₀＝f (x₀) ，                                    

y₀ ＝ f ^-1 (x₀)，據(jù)反函數(shù)的意義有：x₀ ＝ f (y₀)。                        ………2分

所以：y₀ ＝ f (x₀)且同時(shí)有x₀ ＝ f (y₀)。

若x₀ ＜ y₀ ，因?yàn)楹瘮?shù)y ＝ f (x) 是其定義域上是增函數(shù)，

所以有：f (x₀) ＜ f (y₀) ，即y₀ ＜ x₀ 與 x₀ ＜ y₀矛盾，這說(shuō)明x₀ ＜ y₀是錯(cuò)誤的。

同理可證x₀ ＞ y₀也是錯(cuò)誤的。

所以x₀ ＝ y₀ ，即函數(shù)y ＝ f (x)的圖像與其反函數(shù)y ＝ f ^-1 (x)的圖像有公共點(diǎn)在直線y ＝ x上；                                                        ………5分

2）構(gòu)造函數(shù)F (x)＝a ^x－x(a＞1)

因?yàn)镕′ (x)＝ a ^xlna － 1（a ＞ 1），                               ………6分

令F′ (x)＝ a ^xlna － 1≥0，

解得：x ≥。

所以當(dāng)x ≥時(shí)：F′ (x)≥0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是增函數(shù)；

當(dāng)x ≤時(shí)：F′ (x)≤0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是減函數(shù)。

所以F (x)的最小值為F (x)_min＝F ()＝－。………9分

令－＞0，解得：a ＞。

故當(dāng)a＞時(shí)：F (x)_min ＝F ()＞0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，這說(shuō)明函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x沒有公共點(diǎn)；           ………10分

  當(dāng)a＝時(shí)：F (x)_min ＝F ()＝F (e)＝0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有唯一實(shí)數(shù)解x ＝＝e。這說(shuō)明函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x有唯一公共點(diǎn)；                                                     ………11分

當(dāng)a＜時(shí)：F (x)_min ＝F ()＜0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有兩相異的實(shí)數(shù)解（設(shè)＜)。

又因?yàn)楫?dāng)x → -∞或x → +∞時(shí)有F (x) → +∞，且F (0)＝1，所以據(jù)函數(shù)

F (x)＝a ^x－x(a＞1)的單調(diào)性可知：-∞＜0＜＜＜＜+∞，這說(shuō)明函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x有兩不同的公共點(diǎn)個(gè)公共點(diǎn)。      ………12分

綜上所述：

當(dāng)a＞時(shí): 函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像沒有公共點(diǎn)；

當(dāng)a ＝時(shí)：函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像有唯一公共點(diǎn)；

當(dāng)1＜a＜時(shí):函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)。                                                             ………13分